《清史稿》卷四十六 志二十一

◎時憲二

△推步算術

推步新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圓形。今撮其大旨，證立法之原，驗用數之實，都爲一十六術，著於篇。

平三角形者，三直線相遇而成。其線爲邊，兩線所夾空處爲角。有正角，當全圓四分之一，如甲乙丙形之甲角。有銳角，不足四分之一，如乙、丙兩角。有鈍角，過四分之一，如丁戊己形之戊角。圖形尚無資料

角之度無論多寡，皆有其相當之八線。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度與九十度相減餘度之四線也，如甲乙爲本度，則丙乙爲餘度。正弦乙戊，正矢甲戊，正割庚丁，正切庚甲，餘弦乙己，餘矢丙己，餘割辛丁，餘切辛丙。若壬癸爲本度，則醜癸爲餘度，正弦癸辰，正矢壬辰，餘弦癸卯，餘矢醜卯，餘割子寅，餘切醜寅。以壬癸過九十度無正割、正切，借癸午之子未爲正割，午未爲正切。若正九十度醜壬爲本度，則無餘度，醜子半徑爲正弦，壬子半徑爲正矢，亦無正割、正切，並無餘弦、餘矢、餘割、餘切。

古定全圓周爲三百六十度，四分之一稱一象限，爲九十度。每度六十分，每分六十秒，每秒六十微。圓半徑爲十萬，後改千萬。逐度逐分求其八線，備列於表。推算三角，在九十度內，欲用某度某線，就表取之，算得某線。欲知某度，就表對之。過九十度者，欲用正弦、正割、正切及四餘，以其度與半周相減餘，就表取之。欲用正矢，取餘弦加半徑爲之。既得某線，欲知某度，就表對得其度與半周相減餘命之。

圖形尚無資料

算平三角凡五術：

一曰對邊求對角，以所知邊爲一率，對角正弦爲二率，所知又一邊爲三率，二三相乘，一率除之，求得四率，爲所不知之對角正弦。如圖甲乙爲所知邊，丁角爲所知對角，乙丁爲所知又一邊，甲角爲所不知對角也。此其理系兩次比例省爲一次。如圖乙丁爲半徑之比，乙丙爲丁角正弦之比。法當先以半徑爲一率，丁角正弦爲二率，乙丁爲三率，求得四率中垂線乙丙。既得乙丙，甲乙爲半徑之比，乙丙又爲甲角正弦之比。乃以甲乙爲一率，乙丙爲二率，半徑爲三率，求得四率，自爲甲角正弦。然後合而算之，以先之一率半徑與後之一率甲乙相乘爲共一率，先之二率丁角正弦與後之二率乙丙相乘爲共二率，先之三率乙丁與後之三率半徑相乘爲共三率，求得四率，自爲先之四率乙丙與後之四率甲角正弦相乘數，仍當以乙丙除之，乃得甲角正弦。後既當除，不如先之勿乘。共二率內之乙丙與三率相乘者也，乘除相報，乙丙宜省。又共三率內之半徑與二率相乘者也，共一率內之半徑又主除之，乘除相報，半徑又宜省。故徑以甲乙爲一率，丁角正弦爲二率，乙丁爲三率，求得四率，爲甲角正弦。

二曰對角求對邊，以所知角正弦爲一率，對邊爲二率，所知又一角正弦爲三率，求得四率，爲所不知對邊。此其理具對邊求對角，反觀自明。

三曰兩邊夾一角求不知之二角，以所知角旁兩邊相加爲一率，相減餘爲二率，所知角與半周相減，餘爲外角，半之，取其正切爲三率，求得四率，爲半較角正切。對錶得度，與半外角相加，爲對所知角旁略大邊之角;相減，餘爲對所知角旁略小邊之角。此其理一在平三角形。三角相併，必共成半周。如圖甲乙丙形，中垂線甲丁，分爲兩正角形。正角爲長方之半，長方四角皆正九十度，正角形兩銳角斜剖長方，此角過九十度之半幾何，彼角不足九十度之半亦幾何，一線徑過，其勢然也。故甲右邊分角必與乙角合爲九十度，甲左邊分角必與丙角合爲九十度。論正角形各加丁角，皆成半周，合爲銳角形。除去丁角，三角合亦自爲半周。故既知一角之外，其餘二角雖不知各得幾何度分，必知其共得此角減半周之餘也。一在三角同式形比例。如圖丙庚戊形，知丙庚、丙戊兩邊及丙角。展丙庚爲丙甲，連丙戊爲甲戊，兩邊相加。截丙戊於丙丁，爲戊丁，兩邊相減餘。作庚丁虛線，丙庚、丙丁同長，庚丁向圓內二角必同度，是皆爲丙角之半外角，與甲辛、辛庚之度等。而庚向圓外之角，即本形庚角大於戊角之半，是爲半外角。以庚丁爲半徑之比，則甲庚即爲丁半外角正切之比。半徑與正切恆爲正角，甲庚與庚丁圓內作兩通弦，亦無不成正角故也。又作丁己線，與甲庚平行，庚丁仍爲半徑之比，丁己又爲庚向圓外半較角正切之比。而戊甲庚大形與戊丁己小形，戊甲、戊丁既在一線，甲庚、丁己又系平行，自然同式。故甲戊兩邊相加爲一率，戊丁兩邊相減餘爲二率，甲庚半外角正切爲三率，求得四率，自當丁己半較角正切也。