高二平面幾何課件

教學目標

1．使學生掌握兩個平面平行的性質定理及應用；

2．引導學生自己探索與研究兩個平面平行的性質定理，培養和發展學生髮現問題解決問題的 能力． 教學重點和難點 重點：兩個平面平行的性質定理； 難點：兩個平面平行的性質定理的證明及應用． 教學過程

一、複習提問

教師簡述上節課研究的主要內容（即兩個平面的位置關係，平面與平面平行的定義及兩個平面 平行的判定定理），並讓學生回答：

（1）兩個平面平行的意義是什麼？

（2）平面與平面的判定定理是怎樣的？並用命題的形式寫出來？ （教師板書平面與平面平行的定義及用命題形式書寫平面與平面平行的判定定理）

目的：

（1）通過學生回答，來檢查學生能否正確敘述學過的知識，正確理解平面與平面平 行的判定定理．

（2）板書定義及定理內容，是爲學生猜測並發現平面與平面平行的性質定理作準備

二、引出命題

（教師在對上述問題講評之後，點出本節課主題並板書，平面與平面平行的性質）

師：從課題中，可以看出，我們這節課研究的主要對象是什麼？

生：兩個平面平行能推導出哪些正確的結論．

師：下面我們猜測一下，已知兩平面平行，能得出些什麼結論． （學生議論）

師：猜測是發現數學問題常用的方法．“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發現．”但猜想不 是盲目的，有一些常用的方法，比如可以對已有的命題增加條件，或是交換已有命題的條件和結 論．也可通過類比法即通過兩個對象類似之處的比較而由已經獲得的知識去引出新的猜想等來得到新的命題． （不僅要引導學生猜想，同時又給學生具體的猜想方法）

師：前面，複習了平面與平面平行的判定定理，判定定理的結論是兩平面平行，這對我們猜想 有何啓發？

生：由平面與平面平行的定義，我猜想：兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行於另一 個面．

師：很好，把它寫成命題形式． （教師板書並作圖，同時指出，先作猜想、再一起證明）

猜想一：

已知：平面α‖β，直線 a 求證：a‖β． 生：由判定定理“垂直於同一條直線的兩個平面平行”．我猜想：一條直線垂直於兩個平行平 面中的一個平面，它也垂直於另一個平面． [教師板書] α，

猜想二：

已知：平面α‖β，直線 l⊥α． 求證：l⊥β． 師：這一猜想的已知條件不僅是“α‖β”，還加上了“直線 l⊥α”．下面請同學們看課本 上關於判定定理“垂直於同一直線的兩平面平行”的證明．在證明過程中，“平面γ∩α=a，平面 γ∩β=a′”．a 與 a′是什麼關係？ 生：a‖a′． 師：若改爲γ不是過 AA′的平面，而是任意一個與α，β都相交的平面γ．同學們考慮一下是 否可以得到一個猜想呢？ （學生討論） 生：如果一個平面與兩個平行平面中的一個相交，也必與另一個平面相交．”

猜想三： 已知：平面α‖β，平面γ∩α=a，求證：γ與β一定相交． 師：怎麼作這樣的猜想呢？ 生：我想起平面幾何中的一個結論：“一條直線與兩條平行線中的一條相交，也必與另一條相 交．” 師：很好，這裏實質用的是類比法來猜想．就是把原來的直線類似看作平面．兩平行直線類似 看作兩個平行平面，從而得出這一猜想．大家再考慮，猜想三中，一個平面與兩個平行平面相交， 得到的交線有什麼位置關係？ 生：平行 師：請同學們表達出這個命題． 生：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行．

猜想四： 已知：平面α‖β，平面γ∩α=a，γ∩β=b． 求證：a‖b． [通過複習定理的證明方法，既發現了猜想三，猜想四，同時又複習了定理的證明方法，也爲 猜想四的證明，作了鋪墊] 師：在得到猜想三時，我們用到了類比法，實際上，在立體幾何的研究中，將所要解決的問題 與平面幾何中的有關問題作類比，常常能給我們以啓示，發現立體幾何中的新問題．比如：在平面 幾何中，我們有這樣一條定理：“夾在兩條平行線間的平行線段相等”，請同學們用類比的方法， 看能否得出一個立體幾何中的猜想？ 生：把兩條平行線看作兩個平行平面，可得猜想：夾在兩個平行平面間的平行線段相等．

猜想五： 已知：平面α‖β，AA′‖BB′，且 A，B∈α，B，B′∈β． 求證：AA′=BB′． [該命題，在教材中是一道練習題，但也是平面與平面平行的性質定理，爲了完整體現平面與 平面平行的性質定理，故爾把它放在課堂上進行分析]

三、證明猜想

師：通過分析，我們得到了五個猜想，猜想的結論往往並不完全可靠．得到猜想，並不意謂着 我們已經得到了兩個平面平行的性質定理，下面主要來論證我們得到的猜想是否正確． [師生相互交流，共同完成猜想的論證]

師：猜想一是由平面與平面平行的定義得到的，因此在證明過程中要注意應用定義． [猜想一證明] 證明：因爲α‖β， 所以α與β無公共點． 又 所以 故 因爲 a α， a 與β無公共點． a‖β．

師：利用平面與平面平行的定義及線面平行的定義，論證了猜想一的正確性．這便是平面與平 面平行的性質定理一．簡言之，“面面平行，則線面平行．” [教師擦掉“猜想一”，板書“性質定理一”] [論證完猜想一之後，教師與學生共同研究了“猜想二”，發現，若論證了“猜想四”的正確 性質，“猜想二”就容易證了，因而首先討論“猜想三，猜想四”]

師：“猜想三”是類比平面幾何中的結論得到的，還記得初中時，是怎麼證明的？ [學生回答：反證法] 師：那麼，大家可否類比初中的證明方法來證明“猜想三”呢？

生：用反證法：假設γ與β不相交，則γ‖β．這樣過直線 a 有兩個平面α和γ與β平行．與 “過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行”矛盾．故γ與β相交．

師：很好．由此可知：不只是發現問題時可用類比法，就是證明方法也可用類比方法．不過猜 想三，雖已證明爲正確的命題，但教材中並把它作爲平面與平面平行的性質定理，大家在今後應用 中要注意． [猜想四的證明]

師：猜想四要證明的是直線 a‖b，顯然 a，b 共面於平面γ，只需推導出 a 與 b 無公共點即可． 生：（證法一） 因爲 所以 又因爲 所以 a‖β， a 與β無公共點． a α，b β． a 與 b 無公共點． 又因爲 所以 a a‖b． γ，b γ， 師：我們來探討其它的證明方法．要證線線平行，可以轉化爲線面平行．

生：（證法二） 因爲 所以 又因爲 所以 a α，又因爲 α‖β， a‖β． a a‖b． γ，且γ∩β=b， 師：用兩種不同證法得出了“猜想四”是正確的．這是平面和平面平行的性質定理二． [教師擦掉“猜想四”，板書“性質定理二”]

師：平面與平面平行的性質定理二給出了在兩個平行平面內找一對平行線的方法．即：“作一 平面，交兩面，得交線，則線線平行．”同時也給我們證明兩條直線平行的又一方法．簡言之， “面 面平行，則線線平行”． [猜想二的證明]

師：猜想二要證明的是直線 l⊥β，根據線面垂直的判定定理，就要證明 l 和平面β內的兩條 相交直線垂直．那麼如何在平面β內作兩條相交直線呢？ [引導學生回憶：“垂直於同一直線的兩個平面平行”的定理的證明]

生：（證法一） 設 l∩α=A，l∩β=B． 過 AB 作平面γ∩α=a，γ∩β=a′． 因爲 α‖β，所以 a‖a′． 再過 AB 作平面δ∩α=b，δ∩β=b′． 同理 b‖b′． 又因爲 l⊥α，所以 l⊥a，l⊥b， 所以 故 l⊥a′，l⊥b′，又 a′∩b′=β， l⊥β．

師：要證明 l⊥β，根據線面垂直的定義，就是要證明 l 和平面β內任何一條直線垂直．

生：（證法二） 在β內任取一條直線 b，經過 b 作一平面γ，使γ∩α=a， 因爲 因此 故 α‖β，所以 a‖b， l⊥α，a l⊥a，所以 α， l⊥b． 又因爲 b 爲β內任意一條直線， 所以 l⊥β． [教師擦掉“猜想二”，板書“性質定理三”] [猜想五的證明] 證明：因爲 AA′‖BB′， 所以過 AA′，BB′有一個平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′． 因爲 α‖β， 所以 AB‖A′B′， 因此 故 AA′ B′B 爲平行四邊形． AA′=BB′． [教師擦掉“猜想五”，板書“性質定理四”]

師：性質定理四，是類比兩條平行線的性質得到的．平行線的性質有許多，大家還能類比得出 哪些有關平行平面的猜想呢？你能證明嗎？請大家課下思考． [因類比法是重要的方法，但平行性質定理已得出，故留作課下思考]

四、定理應用

師：以上我們通過探索一猜想一論證，得出了平面與平面平行的四個性質定理，下面來作簡單 的應用． 例 已知平面α‖β，AB，CD 爲夾在α，β間的異面線段，E、F 分別爲 AB，CD 的中點．

求證：EF‖α，EF‖β．

師：要證 EF‖β，根據直線與平面平行的判定定理，就是要在β內找一條直線與 EF 平行．

證法一：

連接 AF 並延長交β於 G． 因爲 AG∩CD=F， 所以 因爲 所以 又 所以 所以 又 所以 故 AG，CD 確定平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=DG． α‖β，所以 AC‖DG， ∠ACF=∠GDF， ∠AFC=∠DFG，CF=DF， △ACF≌△DFG． AF=FG． AE=BE， EF‖BG，BG EF‖β． β． 同理：EF‖α． 師：要證明 EF‖β，只須過 EF 作一平面，使該平面與β平行，則根據平面與平面平行性質定 理即可證．

證法二：

因爲 AB 與 CD 爲異面直線，所以 A CD． 在 A，CD 確定的平面內過 A 作 AG‖CD，交β於 G，取 AG 中點 H，連結 AC，HF． 因爲 所以 因爲 又因爲 因此 α‖β， AC‖DG‖EF． DG β，所以 HF‖β． E 爲 AB 的中點， EH‖BG，所以 EH‖β． 又 EH∩FH=H， 因此 平面 EFH‖β，EF 平面 EFH， 所以 EF‖β． 同理，EF‖α．

師：從以上兩種證明方法可以看出，雖然是解決立體幾何問題，但都是通過轉化爲平面幾何的 問題來解決的．這是解決立體幾何問題的一種技能，只是依據的不同，轉化的方式也不同．

五、平行平面間的距離

師：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面 間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段．兩個平行平面有幾條公垂線？這些公垂線的位置關係 是什麼？

生：兩個平行平面有無數條公垂線，它們都是平行直線．

師：夾在兩平行平面之間的公垂線段有什麼數量關係？根據是什麼？

生：相等，根據“夾在兩個平行平面間的平行線段相等．”

師：可見夾在兩個平行平面的公垂線段長度是唯一的．而且是夾在兩個平行平面間的所有線段 中最短的．因此我們把這公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離．顯然兩個平行平面的距離等於 其中一個平面上的任一點到另一個平面的垂線段的長度．

六、小結

1．由學生用文字語言和符號語言來敘述兩個平面平行的性質定理． 教師總結本節課是由發現與論證兩個過程組成的．簡單的說就是：由具體問題具體素材用類比 等方法猜想命題，並由轉化等方法論證猜想的正確性，得到結論．

2．在應用定理解決立體幾何問題時，要注意轉化爲平面圖形的問題來處理．大家在今後學習 中一定要注意掌握這一基本技能．

3．線線平行、線面平行與面面平行的判定定理和性質定理構成一套完整的定理體系．在學習 中應發現其內在的科學規律：低一級位置關係判定着高一級位置關係；高一級位置關係一定能推導 低一級位置關係．下面以三種位置關係爲綱應用轉化的思想整理如下：

七、佈置作業

課本：p．38，習題五 5，6，7，8．

課堂教學設計說明

1．本節課的中心是兩個平行平面的性質定理．定理較多，若採取平鋪直敘，直接地給出命題， 那樣就繞開了發現、探索問題的過程，雖然比較省事，但對發展學生的思維能力是不利的． 在設計本教案時，充分考慮到教學研究活動是由發現與論證這樣兩個過程組成的．因而把“如 何引出命題”和“如何猜想”作爲本節課的重要活動內容．在教師的啓發下，讓學生利用具體問題； 運用具體素材，通過類比等具體方法，發現命題，完成猜想．然後在教師的引導下，讓學生一一完 成對猜想的證明，得到兩個平面平行的性質定理．也就在這一“探索”、“發現”、“論證”的過 程中，培養了學生髮現問題，解決問題的能力． 在實施過程中，讓學生處在主體地位，教師始終處於引導者的位置．特別是在用類比法發現猜 想時，學生根據兩條平行線的性質類比得出許多猜想．比如：根據“平行於同一條直線的兩條直線 平行”得到“平行於同一個平面的兩個平面平行．”根據“兩條直線平行，同位角相等”等，得到 “與兩個平行平面都相交的直線與兩個平面所成的角相等”等等，當然在這些猜想中，有的是正確 的，有的是錯誤的，這裏不一一敘述．這就要求教師在教學過程中，注意變化，作適當處理．學生 在整節課中，思維活躍，沉浸在“探索、發現”的思維樂趣中，也正是在這種樂趣中，提高了學生 的思維能力．

2．在對定理的證明過程中，課上不僅要求證出來，而且還考慮多種證法．對於定理的證明， 是解決問題的一些常用方法，也可以說是常規方法，是要學生認真掌握的．因此教師要把定理的證 明方法，作爲教學的重點內容進行必要的講解，培養學生解決問題的能力．

3．轉化是重要的數學思想及數學思維方法．它在立體幾何中處處體現．實質上處理空間圖形 問題的基本思想方法就是把它轉化爲平面圖形的問題，化繁爲簡．特別是在線線平行，線面平行， 面面平行三種平行的關係上轉化的思想也有較充分的體現，因而在小結中列出三個平行關係相互轉 讓的關係圖，一方面便於學生理解，記憶，同時通過此表，能馬上發現三者相互推導的關係，能打 開思路，發現線索，得到最佳的解題方案．

[高二平面幾何課件]